正则 Hankel 矩阵的 Vandermonde 分解及其在 Bézier 曲线计算中的应用

本文介绍了一种计算 n = 2m-1 次 Bézier 曲线的新方法，该曲线在此被表述为一组点，其坐标由 $\C^m$ 中的两个 Hankel 形式计算得出。从两个相关联的 Hankel 矩阵 $H_x$ 和 $H_y$ 的 Vandermonde 分解出发，可以容易地计算出这些 Hankel 形式，从而得到 Bézier 曲线上的点。在此，利用 Pascal 矩阵技术，给出了正则 Hankel 矩阵存在 Vandermonde 分解的新证明。但是，即使与形式相关联的 Hankel 矩阵是奇异的，该方法仍然可以通过平移其反对角线并在随后抵消该平移来使用，这在实际操作中几乎不产生计算成本。通过将这种新方法与 Pascal 矩阵方法和 Casteljau 算法进行比较，结果表明，对于不同的 n 值，这种新方法在精度和计算时间方面都非常有效。