量子比特交换的普适性：一种表示论方法

量子信息理论的一个开放问题是确定在 $d>2$ 的 $d$ 态系统上编码的 qudit（量子 d 维系统）在何种条件下可以实现仅依赖交换的普适计算。该问题可以用表示论来表述：认识到每个由交换相互作用生成的量子力学交换(swap)可等同于对称群中的一个对换，每个 $d$ 态系统可等同于 $SU(d)$ 的基本表示，每个编码的 qudit 可等同于由对换生成的李代数的一个不可约表示。为此，我们首先给出仅依赖交换的普适性(exchange-only universality)的数学定义，即从一个 qudit 乘积上的特殊酉代数到由对换生成的李代数表示的映射。我们证明该定义与量子计算的要求一致。接着我们着手刻画 qudit 的普适族，即容许仅依赖交换普适性的编码 qudit 族。这一工作得益于对应于 qudit 的不可约表示可由分拆规范标记的事实。特别地，我们推导了单个或两个此类 qudit 上普适性的充要条件，以相关分拆的简单算术条件表述。我们还推导了任意多个此类 qudit 上普适性的充要条件，以 Littlewood--Richardson 系数表述。在其他结果中，我们证明了多个 qudit 的普适族是向上封闭的，对于足够多的 qudit 可保证普适性，且任何非普适族只需添加至多五个辅助位即可变为普适。作为特例，我们也获得了关于 2 态系统的结果。