源自计算信息博弈的通用可扩展鲁棒求解器与快速特征空间自适应多分辨率分析

我们展示了如何将任意有界线性算子的鲁棒可扩展数值求解器的发现过程自动化为一个博弈论问题，方法是将具有部分信息和有限资源的计算过程重新表述为进行底层对抗性信息博弈层级的过程。当解空间为赋予二次范数 $\|\cdot\|$ 的 Banach 空间 $B$ 时，此类博弈的最优测度（混合策略）（例如在给定部分测量 $[\phi_i, u]$ 且 $\phi_i\in B^*$ 的情况下，以 $\|\cdot\|$-范数中的相对误差作为损失来对抗性恢复 $u\in B$）是一个仅由范数 $\|\cdot\|$ 确定的中心高斯场 $\xi$，其（基于测量的）条件化产生最优下注。当测量具有层级结构时，对该高斯场进行条件化的过程产生了一个基本下注（gamblets）的层级。这些 gamblets 推广了小波和 Wannier 函数的概念，因为它们自适应于范数 $\|\cdot\|$，并诱导出 $B$ 的一个多分辨率分解，该分解自适应于定义范数 $\|\cdot\|$ 的算子的特征子空间。当算子是局域化的时，我们证明了所得的 gamblets 在空间和频率上均是局域化的，并引入了具有严格精度和（近线性）复杂度估计的快速 Gamblet 变换（FGT）。正如 FFT 可用于求解和对角化具有常系数的任意偏微分方程一样，FGT 可用于将广泛的连续线性算子（包括从 $H^s_0$ 到 $H^{-s}$ 或到 $L^2$ 的任意连续线性双射）分解为一系列条件数一致有界的独立线性系统，并带来 $\mathcal{O}(N \operatorname{polylog} N)$ 求解器以及特征空间自适应的多分辨率分析（从而实现对所有特征子空间的近线性复杂度近似）。