非线性Pólya urn非平衡相变的普适函数

我们研究了非线性 Pólya urn 的相变与临界性质，这是一种具有反馈机制的简单二元随机过程 $X(t)\in \{0,1\},t=1,\cdots$。设 $f$ 为从单位区间到自身的连续函数，$z(t)$ 为前 $t$ 个变量 $X(1),\cdots,X(t)$ 中取 1 值的比例。$X(t+1)$ 以概率 $f(z(t))$ 取 1 值。当 $f(z)$ 的稳定不动点数目发生变化时，系统经历非平衡相变，序参数为自相关函数的极限值。当系统具有 $Z_{2}$ 对称性，即 $f(z)=1-f(1-z)$ 时，发生连续相变，且自相关函数渐近表现为 $\ln(t+1)^{-1/2}g(\ln(t+1)/\xi)$，其中关联长度 $\xi$ 和普适函数 $g(x)$ 有适当的定义。我们利用随机微分方程及关于随机噪声强度的展开解析推导了 $g(x)$。$g(x)$ 决定了临界点附近自相关函数的渐近行为以及相变的普适类。