通过混沌变量理解表式哈希的矩

简单表式哈希(simple tabulation hashing)可追溯到1970年Zobrist，定义如下：每个键被视为来自某字母表$\Sigma$的$c$个字符，我们有$c$个完全随机的哈希函数$h_0, \ldots, h_{c - 1} \colon \Sigma \to \{0, \ldots, 2^l - 1\}$，键$x = (x_0, \ldots, x_{c - 1})$被哈希为$h(x) = h_0(x_0) \oplus \ldots \oplus h_{c - 1}(x_{c - 1})$，其中$\oplus$为按位异或操作。P{\v a}tra{\c s}cu和Thorup~[J.ACM'11]以及Aamand等人~[STOC'20]先前关于表式哈希的结果侧重于证明基于哈希的和（例如哈希到给定值的键数）的Chernoff型尾界，但他们的界未覆盖整个尾部。混沌(chaoses)是形如$\sum a_{i_0, \ldots, i_{c - 1}} X_{i_0} \cdot \ldots \cdot X_{i_{c - 1}}$的随机变量，其中$X_i$为独立随机变量。混沌是概率论中研究充分的概念，且已在若干情形下被证明有紧致分析，例如当独立随机变量为标准高斯变量以及当独立随机变量具有对数凸尾时。我们注意到简单表式哈希的基于哈希的和可被视为一组不独立的混沌之和。这促使我们利用混沌理论的技术来分析简单表式哈希的基于哈希的和。本文中，我们获得了简单表式哈希的基于哈希的和的所有矩的界，这些界紧致到仅依赖于$c$的常数因子。与先前尝试相反，我们的方法主要是解析的，不采用复杂的组合论证。对简单表式哈希的改进分析使我们能获得Dahlgaard等人~[FOCS'15]引入的混合表式哈希(mixed tabulation hashing)的基于哈希的和的矩的界。