子立方体交集图的 Turán 与 Ramsey 性质

离散立方体 $\{0,1\}^d$ 是一个基本的组合结构。$\{0,1\}^d$ 的子立方体是通过固定 $k$ 个坐标并允许其余 $d-k$ 个坐标自由变化而形成的包含 $2^k$ 个点的子集。离散立方体的子立方体结构出人意料地复杂，且与之相关的开放性问题众多。本文关注离散立方体中子立方体之间的交集模式。此类问题的两个示例如下：给定一个子立方体族，其中任意 $r+1$ 个都没有非空交集，那么最多可以有多少对两两交集？如果在一个子立方体族中，不存在 $k$ 个具有非空交集的子立方体，也不存在 $l$ 个两两不相交的子立方体，那么该族最多可以包含多少个子立方体？这些问题自然地表述为子立方体交集图中的 Turán 型和 Ramsey 型问题，其中集合族的交集图对于族中的每个集合有一个顶点，若两个对应子集相交，则相应的两个顶点相邻。Turán 型和 Ramsey 型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机来自于与社会选择理论中某些问题的联系，这些问题源于一个关于社会共识的简单模型。具体而言，如果我们需要对 $n$ 个独立议题分别做出二元选择，那么合理假设个体可接受的选择集将由一个子立方体表示。因此，子立方体族内的交集模式将对社会内的共识水平产生影响。我们提出了一系列直接涉及 Turán 和 Ramsey 问题的问题与猜想，并提出了研究子立方体交集图的进一步方向。