S^1上树级与图级拟局部庞加莱对偶

庞加莱对偶的众多推论之一表明，紧致定向流形的德拉姆上同调是一个平移交换的Frobenius代数——一个交换Frobenius代数，其余乘的上同调次数等于流形的维数。我们研究这一结构是否能在上链层次提升为“同伦”平移交换Frobenius代数结构。为了使这个问题非平凡，我们施加了一个温和的局部性条件，称为“拟局部性”：在上链层次严格局部性是不合理的，但要求同伦常数的操作族在“极限”下成为局部的是合理的。为了使问题具体化，我们取流形为一维圆。拟局部同伦Frobenius代数结构是否存在，答案取决于进行同伦代数的上下文选择。研究涉及多对多操作的结构（如Frobenius代数）有两个合理的世界：可以在“树级”工作，大致对应于操作子同伦代数及其同伦模的世界；或者可以在“图级”工作，对应于PROP的世界。对于问题的树级版本，答案是意料之中的“是，这样的结构存在”——实际上，它在可缩的选择空间中是唯一的。但对于图级版本，答案是令人惊讶的“不，这样的结构不存在”。本文的大部分内容在于显式计算这种不存在性，它由某个障碍的数值控制，我们通过一系列积分显式计算了这个值。