流的输运与几何 Rademacher 型定理

流体中的涡点/涡线/涡面、晶体塑性固体中的位错环或磁性中的拓扑奇点等许多奇异结构在介质中的输运，可以用几何（李）输运方程 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} T_t + \mathcal{L}_{b_t} T_t = 0$$ 来表示，其中 $t \mapsto T_t$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中一族依赖于时间的积分或法向 $k$-流。这里，$b_t$ 是驱动向量场，$\mathcal{L}_{b_t} T_t$ 是 $T_t$ 关于 $b_t$ 的李导数。对于不同的 $k$ 值写成坐标形式后，该偏微分方程包含了经典输运方程（$k = d$）、连续性方程（$k = 0$），以及晶体中位错线（$k = 1$）和液体中膜（$k = d-1$）的输运方程。最高维与最低维情形已因 DiPerna–Lions 与 Ambrosio 的正则拉格朗日流理论而受到大量关注。另一方面，目前关于中间维情形的严格结果极少。本文发展了任意 $k$ 以及无边界流 $T_t$ 情形下的几何输运方程理论，特别涵盖了解的存在唯一性、结构定理、可整流性，以及若干 Rademacher 型可微性结果。后者给出：给定一条（关于时间）绝对连续的路径 $t \mapsto T_t$，几乎处处存在一个“几何导数”，即驱动向量场 $b_t$。这一微妙问题被证明与本工作引入的新概念——演化的临界集——密切相关，该概念与 Sard 定理紧密关联，并涉及“在时间上被抹平”的奇点。我们的可微性结果是尖锐的，并通过一个显式例子加以说明。