带间隙的轨道：将概率方法应用于列车

我们刻画了列车车厢车轮数量与为确保列车车厢始终由轨道支撑而必须铺设的轨道长度之间的权衡曲线。目标是建造一条跨越较大距离 $\ell$ 的高架轨道，但其主要由间隙构成，使得实际铺设的轨道总英尺数仅为 $\ell$ 的一小部分。为使轨道能在所有位置支撑列车，要求当列车驶过轨道时，列车后四分之一和前四分之一中至少各有一组车轮始终接触轨道。我们证明，若列车车厢后部有 $n$ 组均匀间隔的车轮、前部也有 $n$ 组均匀间隔的车轮，则有可能建造一条支撑该车厢但仅使用 $\Theta( \ell / n )$ 英尺轨道的列车轨道。接着我们考虑列车车厢车轮非均匀间隔（甚至可能被对抗性配置）的情形。我们证明，对于车厢前后四分之一各有 $n$ 个车轮的任意配置，都有可能建造一条支撑该车厢行驶距离 $\ell$ 且仅使用 $O\left(\frac{\ell \log n}{n}\right)$ 英尺轨道的轨道。此外，我们证明存在某些列车车厢配置使得该权衡曲线在渐近意义下最优。上下界均通过概率方法的应用得到。