用于计算 $\ell_0$-最小化问题 KKT 点与局部极小值的易处理 ADMM 格式

我们考虑一个在多面体集上最小化 $f(x) + \gamma \|x\|_0$ 的 $\ell_0$-最小化问题，其中 $\ell_0$-范数正则化项隐式强调解的稀疏性。此类设定涵盖了图像处理与统计学习中的一系列问题。鉴于该范数的非凸与不连续性质，通常采用凸正则化项作为替代。因此，关于直接求解 $\ell_0$-最小化问题的方法所知甚少。受文献[19]启发，我们考虑将 $\ell_0$-最小化问题的等价形式转化为带互补约束的数学规划（MPCC），并在其 KKT 点的刻画与计算方面做出以下贡献： 首先，我们证明了该形式的可行点满足相对较弱的 Guignard 约束规格。此外，在对 $f(x)$ 施加适当的凸性假设下，推导出了 MPCC 形式的一阶 KKT 点与局部极小值之间的等价关系。 其次，我们应用两种交替方向乘子法（ADMM）算法以利用 MPCC 形式的特殊结构：(ADMM$_{\rm cf}^{\mu, \alpha, \rho}$) 和 (ADMM$_{\rm cf}$)。这两种 ADMM 格式均具有易处理的子问题。具体而言，尽管整体非凸，我们证明了第一个 ADMM 更新可以通过识别隐藏的凸性性质有效地化为闭式表达式，而第二个则需要求解一个凸规划。在 (ADMM$_{\rm cf}^{\mu, \alpha, \rho}$) 中，我们证明了在温和假设下存在向扰动 KKT 点的子序列收敛。我们的初步数值实验表明，易处理的 ADMM 格式比其标准对应方法具有更好的可扩展性，且 ADMM$_{\rm cf}$ 在求解 $\ell_0$-最小化问题时与竞争方法相比表现良好。