面向非光滑优化的自适应黎曼 ADMM：无需光滑化的最优复杂度

我们研究在嵌入欧几里得空间的紧致黎曼子流形上，最小化光滑函数与非光滑凸正则化项之和的问题。通过引入辅助分裂变量，我们提出了一种自适应黎曼交替乘子法（ARADMM），该方法首次在不要求对非光滑项进行光滑化的情况下实现了收敛。我们的方法每次迭代仅涉及一次黎曼梯度计算和一次近端更新。通过对步长和惩罚参数进行精细且自适应的协调，我们证明了寻找 $\epsilon$-近似 KKT 点的最优迭代复杂度为 $\mathcal{O}(\epsilon^{-3})$ 阶，这与现有的基于光滑化技术的黎曼 ADMM 方法的复杂度相匹配。在稀疏 PCA 和鲁棒子空间恢复上的大量数值实验表明，我们的 ARADMM 在收敛速度和求解质量上均始终优于最先进的黎曼 ADMM 变体。