凸优化中可行集的表示

我们考虑凸优化问题 $\min \{f(x) : g_j(x)\leq 0, j=1,...,m\}$，其中 $f$ 是凸函数，可行集 $K$ 是凸集且 Slater 条件成立，但函数 $g_j$ 不一定是凸函数。我们证明，对于满足温和非退化假设的 $K$ 的任意表示，每个极小点都是 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 点，反之每个 KKT 点都是极小点。也就是说，KKT 最优性条件既是必要的也是充分的，正如在假设 $g_j$ 为凸函数的凸规划中一样。因此，在凸优化中，就 KKT 点而言，真正重要的是 $K$ 的几何性质，而非其表示形式。