一般浅层网络逼近的可处理性

在本文中，我们给出了论文《Dimension independent bounds for general shallow networks》（Neural Networks, \textbf{123} (2020), 142-152）中结果的更精细版本。设 $\mathbb{X}$ 和 $\mathbb{Y}$ 为紧度量空间。我们考虑形如 $x\mapsto\int_{\mathbb{Y}} G( x, y)d\tau( y)$（$x\in\mathbb{X}$）的函数的逼近，使用形如 $x\mapsto \sum_{k=1}^n a_kG( x, y_k)$（$y_1,\cdots, y_n\in\mathbb{Y}$，$a_1,\cdots, a_n\in\mathbb{R}$）的 $G$-网络。利用覆盖数定义 $\mathbb{X}$ 和 $\mathbb{Y}$ 的维数，我们得到了关于逼近阶依赖于 $n$ 的维数无关界，其中涉及的常数至多多项式地依赖于维数。应用包括幂修正线性单元网络、带状函数网络、某些径向基函数网络的逼近，以及向高维空间进行函数延拓这一重要问题。