模式转换理论专题与路径积分的群论基础

本论文报告了关于相空间视角求解波问题的研究，特别关注多分量波系统中的模式转换现象以及相空间视角背后的数学基础。论文第一部分回顾了共振模式转换的相空间理论。我们描述了 WKB 近似如何与相空间中的几何结构相关联，以及如何特别利用射线追踪算法来构造 WKB 解。我们还提出了模式转换问题局部解的新高阶修正，以实现与 WKB 解更好的渐近匹配。第一部分使用的相空间工具依赖于 Weyl 符号演算，它提供了一种将算子与相空间上的函数联系起来的方法。在论文第二部分，我们探讨了符号理论的数学基础。接着，我们介绍了由 Zobin 最近发展的符号的群论表述。该表述基于非交换群上的双重傅里叶变换来定义算子的符号。然后，我们展示了在计算算子函数的符号时路径积分是如何产生的。最后，我们概述了未来研究的思路，并描述了这种群论视角在模式转换问题中的几个潜在应用。