图的审慎 3-分割的紧上界

本文证明，每个具有 $m$ 条边的图都存在一种 3-分割，使得\n\n$$\max_{1 \leq i \leq 3} e(V_i) \leq \frac{m}{9} + \frac{1}{9}h(m) \quad \text{且} \quad e(V_1, V_2, V_3) \geq \frac{2}{3}m + \frac{1}{3}h(m),$$\n\n其中 $h(m) = \sqrt{2m + 1/4} - 1/2$。这正好回答了 Bollob\'as 和 Scott 的问题。我们也解答了 Bollob\'as 和 Scott 的几个相关问题。我们的所有结果都是紧致的。