层级分等：一种发现加权网络中层级结构的实用算法

许多现实世界现象的相互作用可由强烈的层级结构来解释。通常该结构或排序未知；我们仅有观察到的相互作用结果，目标是从这些观测中推断层级。在有向网络背景下发现层级可表述为：给定图，将顶点划分为若干层，理想情况下仅存在从上到下的边。理想情形仅在图无环时发生。因此实践中须引入惩罚函数以惩罚违背层级的边。此类惩罚的一个实用变体是 agony（痛苦值），其中每条违背边按其违背严重程度受罚。最小化 agony 的层级可在 O(m^2) 时间内发现，且实践中更快。本文对 agony 作了若干扩展。我们将定义推广至加权图，并允许限制层数的基数约束。尽管这些在概念上是平凡的扩展，现有算法无法处理，也难以轻易扩展。我们通过建立与容量循环问题的联系解决了该问题，并证明对大型数据集可在实践中快速算出精确解。我们还提出一个可证明快速的启发式算法，产生具有竞争性分数的排序。此外，我们证明对任意凸惩罚可在多项式时间内计算 agony，且作为补充，我们证明用任意凹惩罚最小化层级是 NP 难问题。