热力学树：容许路径的空间

热力学是否允许从状态 x 到状态 y 的自发跃迁？这类问题常出现于化学热力学和动力学中。我们提出一个更形式化的问题：在这些状态之间是否存在一条连续路径，沿该路径守恒律成立、浓度保持非负且相关的热力学势 G（例如吉布斯能）单调递减？显然的必要条件 G(x)\geq G(y) 并不充分，我们构建了充要条件。例如，在一维 (1D) 系统（具有 n 个分量和 n-1 个守恒律）中不可能跨越平衡态。即使 G(x) > G(y)，如果状态 x 和 y 位于平衡态的两侧，系统也无法从 x 到达 y。我们找到了这一一维规则的通用多维类比，并构造性地解决了热力学容许跃迁的问题。我们研究了定义在正不变凸多面体 D 中且具有凸 Lyapunov 函数 G 的动力学系统。容许路径是一条 G 不增加的连续曲线。对于 D 中的 x, y，若存在从 x 到 y 的容许路径，则记为 x\geq y（x 先于 y）；若 x\geq y 且 y\geq x，则记为 x \sim y。D 中 G 的树是商空间 D/~。我们提供了构建该树的算法。在该算法中，利用了 G 在 D 的 1-骨架（边的并集）上的限制。状态间容许路径的存在性问题得到了构造性解决。描述了容许路径可达的区域。