热驱动弹性膜在各尺度上均呈准线性

我们通过研究过阻尼动力 Föppl–von Kármán 方程来考察热涨落弹性薄板的静态与动态结构，该方程将弹性理论中的 Föppl–von Kármán 方程由白噪声驱动。这一非线性方程由一个单一无量纲耦合参数 $g$ 控制，其大值和小值分别对应于弱和强非线性耦合。通过用常微扰理论分析弱耦合情形，以及用称为自洽展开的自洽方法分析强耦合情形，我们得到了静态与动态结构因子的精确解析预测。系统所支持的最大频率 $n_{\max}$ 在决定此类薄板所属的三类可能行为中起作用：（1）当 $g\gg1$ 时，系统基本为线性，粗糙指数 $\zeta=1$，动态指数 $z=4$；（2）当 $g\ll2/n_{\max}$ 时，系统极强非线性，粗糙指数 $\zeta=1/2$，动态指数 $z=3$；（3）在这些区域之间，获得一种中间行为，其中发生交叉，使得在低频处观察到非线性行为，而在高频处观察到线性行为。发现高频线性尾部对薄板的低频行为有显著影响。粗略计算表明，石墨烯等超薄材料处于这一中间区域。尽管存在这三种不同的行为，动态结构因子的衰减率与静态结构因子的关系如同系统完全线性一般。这种准线性无论 $g$ 的大小如何、在所有长度尺度上均会发生。数值模拟证实了这三类行为的存在以及所有类别的准线性。