共树的局部表格双中间逻辑只有可数个

双 Heyting 代数当且仅当其素滤器的序集是共树的 disjoint 联合时，验证 Gödel-Dummett 公理 $(p \to q) \lor (q \to p)$。这种类型的双 Heyting 代数称为双 Gödel 代数，形成一个 variety $\operatorname{\mathsf{bi-GA}}$，它代数化了以 Gödel-Dummett 公理为公理化的 bi-intuitionistic 逻辑扩展 $\operatorname{\mathsf{bi-GD}}$。本文我们证明，共树的局部表格双中间逻辑只有可数个，所有这些逻辑都是有限公理化的。双 Gödel 代数的规范公式理论表明 $\operatorname{\mathsf{bi-GA}}$ 有 continuum 许多子variety，其中局部有限的子variety 与 $\mathsf{V}_n \coloneqq \{\mathbf{A} \in \operatorname{\mathsf{bi-GA}} \colon \mathbf{A} \models \beta(\mathfrak{C}_n)\}$ 的子variety 一致（其中 $\beta(\mathfrak{C}_n)$ 是第 n 个 comb 的子框公式）。我们识别了多重可数关系（一个二元关系，当定义在更好部分序集的有限多重集集合上时，必然是更好的部分序），并用它证明每个 $\mathsf{V}_n$ 是 Specht variety，因而只有可数个子variety，所有子variety 都是有限公理化的。通过 $\operatorname{\mathsf{bi-GD}}$ 的代数化，本论文的主要结果随之而来。我们还提供了 bi-Gödel 代数 variety 链的 informative 描图。