悬链环理论重探

我们提出了在一般构型下，两个轴对称固体（球体与平面）之间具有给定接触角的液桥理论，涵盖固体非接触、接触或相交的情形。我们详细推导了作为填充角 $\psi$ 函数的悬链环曲率、体积和表面积的表达式，适用于所有类型的弯月面：悬链面 Cat、球面 Sph、柱面 Cyl、结节面 Nod 和波状面 Und（后者的子午轮廓可能具有拐点）。带有边界条件的 Young-Laplace 方程可视为一个非线性本征值问题。其波状面解、弯月面形状 $z_n^s(r)$ 及其曲率 $H_n^s(\psi)$ 表现出离散谱，并由两个索引枚举：弯月面子午轮廓 $M$ 上的拐点数 $n$，以及由接触固体球体的 $M$ 段形状决定的凸性指数 $s=\pm 1$：形状要么是凸的 ($s=1$)，要么是凹的 ($s=-1$)。对于固定的接触角，函数集 $H_n^s(\psi)$ 的行为使得在 $(\psi,H)$ 平面中存在一个有界区域，在该区域内对于任何固体间距都不存在 $H_n^s(\psi)$。曲线 $H_n^s(\psi)$ 可能与该区域的边界相切，该边界是一条光滑闭合曲线。这种拓扑表示允许对可能的曲线进行分类并引入鞍点概念。我们观察到了几种类型的鞍点并给出了它们的分类。