生成具有唯一解实例的理论层面：唯一顶点覆盖的预分配模型

组合优化问题最优解的唯一性引起了众多领域研究者的关注，因为它具有广泛的应用，与计算复杂性中的重要类别相关，且只有一个解的实例在理论上对算法设计往往至关重要。然而，据作者所知，目前没有仅由具有唯一解的实例组成的主要基准集，也没有已知的生成具有唯一解实例的算法；一种系统性地获取保证具有唯一解的问题实例的方法将是有帮助的。一种可能的方法如下：给定一个问题实例，我们预先指定解的一小部分，使得只有一个最优解满足该指定。本文将这种针对顶点覆盖问题（作为一种典型的组合优化问题）的“预分配”方法形式化，并讨论其计算复杂性。首先，我们证明该问题在一般情况下是 $\Sigma^P_2$-完全的，而当输入图为二分图时，该问题变为 NP 完全的。然后，我们针对一般图提出了一个 $O(2.1996^n)$ 时间的算法，并针对二分图提出了一个 $O(1.9181^n)$ 时间的算法，其中 $n$ 为顶点数。后者基于一个时间为 $O^*(3.6791^{\tau})$ 的 FPT 算法，其中 $\tau$ 为顶点覆盖数。此外，我们证明该问题对于树可以在 $O(1.4143^n)$ 时间内求解。