可分空间上标记马尔可夫过程的周序数

在标记马尔可夫过程（LMP）的状态之间存在着两种行为等价概念：状态互模拟与事件互模拟。前者可视为 Larsen 和 Skou 的概率互模拟对连续空间的适当推广，而后者由一种自然逻辑刻画。C. Zhou 将状态互模拟表达为算子 $\mathcal{O}$ 的最大不动点，从而引入了度量其与事件互模拟之间差异的序数测度。我们称此序数为 $\mathbb{S}$ 的“周序数”，记为 $\mathfrak{Z}(\mathbb{S})$。当 $\mathfrak{Z}(\mathbb{S})=0$ 时，$\mathbb{S}$ 满足 Hennessy-Milner 性质。第二作者证明了存在 LMP $\mathbb{S}$ 使得 $\mathfrak{Z}(\mathbb{S}) \geq 1$，而 Zhou 指出存在具有无穷周序数的 LMP。本文中我们证明：在可分可度量化空间上存在 LMP $\mathbb{S}$，其 $\mathfrak{Z}(\mathbb{S})$ 可为任意大的可数序数；并且在 $\mathit{ZFC}$ 公理下，一致地存在具有不可数周序数的此类过程。