直线上的加权“朋友比敌人坐得更近”问题

加权的“朋友比敌人坐得更近”（SCFE）问题是指，对于给定的加权图，寻找其顶点集到给定度量空间的一个单射，使得对于每一对权重不同的关联边，权重较大边的端点比权重较小边的端点更近。“序列化”（Seriation）问题是指，寻找对称矩阵的行与列的一种同时重排，使得当向对角线移动时，行与列中的元素单调非递减。若存在这样的重排，则称其为“罗宾逊”（Robinson）排序。本文建立了 SCFE 问题与序列化问题之间的联系。我们证明，若给定加权图 $G$ 的扩展邻接矩阵没有罗宾逊排序，则 $G$ 在 $\mathbb{R}$ 中不存在能解决 SCFE 问题的单射。另一方面，若 $G$ 的扩展邻接矩阵具有罗宾逊排序，我们构造一个多面体，该多面体非空当且仅当 $G$ 的顶点集在 $\mathbb{R}$ 中存在能解决 SCFE 问题的单射。基于这些结果，我们得出结论：对于给定的完全加权图，判断（并构造）其在 $\mathbb{R}$ 中的此类单射可在多项式时间内完成。另一方面，我们证明，判断一个不完全加权图在 $\mathbb{R}$ 中是否存在此类单射是 NP 完全的。