$PSL_2(\mathbb{Z})$ 有限指数子群之间的 Teichm\"uller 距离

对于给定的 $\epsilon >0$，我们证明存在两个 $PSL_2(\mathbb{Z})$ 的有限指数子群，它们是 $(1+\epsilon)$-拟对称共轭的，且该共轭同胚不是共形的。这意味着对于任何 $\epsilon>0$，存在 Modular 一次穿孔环面 $T_0$（或简称 Modular 环面）的两个有限正则覆盖，以及它们之间一个不共伦于共形映射的 $(1+\epsilon)$-拟共形映射。作为上述结果的应用，我们证明了穿孔螺线 $\S$ 的 Teichm\"uller 空间 $T(\S)$ 中，基点在相应 Modular 群（即 $\S$ 的映射类群 \cite{NS}, \cite{Odd}）作用下的轨道，其在 $T(\S)$ 中的闭包严格大于该轨道本身，且该闭包必然是不可数的。