基于交换对象的共识的空间复杂度

近三十年前，人们证明了解决$n$个进程间无阻碍共识需要$\Omega(\sqrt{n})$个寄存器。该下界在2018年被改进为$n$个寄存器，恰好与最佳上界匹配。$\Omega(\sqrt{n})$的空间复杂度下界实际上适用于一类称为无历史对象(historyless objects)的对象，包括寄存器、test-and-set对象和可读交换(readable swap)对象。然而，每一个已知的基于无历史对象的$n$进程无阻碍共识算法都使用$\Omega (n)$个对象。我们给出了针对两类无历史对象的共识算法的首个$\Omega (n)$空间复杂度下界。首先，我们证明任何基于交换(swap)对象的无阻碍共识算法至少使用$n-1$个对象。更一般地，我们证明任何基于交换对象的无阻碍$k$-集一致($k$-set agreement)算法至少使用$\lceil \frac{n}{k}\rceil - 1$个对象。这是当$k > 1$时用交换对象解决$k$-集一致的空间复杂度的首个非常数下界。我们还给出了一个基于$n-k$个交换对象的无阻碍$k$-集一致算法，在$k=1$时恰好匹配我们的下界。其次，我们证明任何基于域大小为$b$的可读交换对象的无阻碍二元共识算法至少使用$\frac{n-2}{3b+1}$个对象。由于任何无历史对象都可由具有相同域的可读交换对象模拟，我们的结果意味着任何基于域大小为$b$的无历史对象的无阻碍共识算法至少使用$\frac{n-2}{3b+1}$个对象。对于$b = 2$，我们给出了$n-2$的稍优下界。已知最好的基于域大小为$2$的可读交换对象的无阻碍二元共识算法使用$2n-1$个对象，在渐近意义上与我们的下界匹配。