集合论宇宙 $V$ 不一定是 HOD 的类力迫扩张
逻辑
2017-09-25 v2
摘要
鉴于 Vop\v{e}nka (1972) 的著名定理（在 ZFC 中证明每个集合在 HOD 上都是泛型的），自然可以询问集合论宇宙 是否必须是 HOD 通过 HOD 中某个可能是真类力迫概念的类力迫扩张。我们给出否定的回答：如果 ZFC 是一致的，那么存在一个 ZFC 的模型，它不是其 HOD 对于任何在 HOD 中可定义且具有可定义力迫关系（允许参数）的类力迫概念的类力迫扩张。同时，S. Friedman (2012) 给出了肯定的回答：如果将 HOD 扩充为一个在 中可定义的特定 ZFC 顺从类 ，那么集合论宇宙 就是扩张结构 的类力迫扩张。我们的结果表明这种扩充过程可能是必要的。同一例子表明 不一定是 mantle 的类力迫扩张，并且该方法提供了中间模型性质的反例，即一个类力迫扩张 ，其中间传递内部模型 既不是 的类力迫扩张，也不是 通过任何具有可定义力迫关系的可定义类力迫概念的基模型。
引用
@article{arxiv.1709.06062,
title = {The set-theoretic universe $V$ is not necessarily a class-forcing extension of HOD},
author = {Joel David Hamkins and Jonas Reitz},
journal= {arXiv preprint arXiv:1709.06062},
year = {2017}
}
备注
15 pages. Version v2 includes theorem 14, which provides a simultaneous counterexample to the class-forcing analogue of the intermediate model theorem. Questions and commentary can be made at http://jdh.hamkins.org/the-universe-need-not-be-a-class-forcing-extension-of-hod