作为全局优化代理的黎曼重心

设 $M$ 为单连通紧黎曼对称空间，$U$ 为 $M$ 上的二次可微函数，在 $x^* \in M$ 处有唯一全局最小值。本工作的思想是用寻找吉布斯分布 $P_{\scriptscriptstyle{T}} \propto \exp(-U/T)$ 的黎曼重心的问题来替代搜索 $U$ 全局最小值的问题。换言之，不是最小化函数 $U$ 本身，而是最小化 $\mathcal{E}_{\scriptscriptstyle{T}}(x) = \frac{1}{2}\int d^{\scriptscriptstyle 2}(x,z)P_{\scriptscriptstyle{T}}(dz)$，其中 $d(\cdot,\cdot)$ 表示黎曼距离。本文证明了如下原创结果：若 $U$ 关于 $x^*$ 的测地对称不变，则对每个 $\delta < \frac{1}{2} r_{\scriptscriptstyle cx}$（$r_{\scriptscriptstyle cx}$ 为 $M$ 的凸半径），存在 $T_{\scriptscriptstyle \delta}$，使得 $T \leq T_{\scriptscriptstyle \delta}$ 蕴含 $\mathcal{E}_{\scriptscriptstyle{T}}$ 在测地球 $B(x^*,\delta)\,$ 上强凸，且 $x^*$ 是 $\mathcal{E}_{\scriptscriptstyle{T\,}}$ 的唯一全局最小值。此外，此 $T_{\scriptscriptstyle \delta}$ 可被显式计算。该结果引出了一种用于黑盒优化的通用算法，本文对其作了简要描述，并将在后续工作中进一步探讨。