细集定理与 Erdős-Moser 定理的逆数学

关于 $n$-元组与 $k$ 种颜色的细集定理（$\mathsf{TS}^n_k$）指出，对 \[\mathbb{N}\]^n 的每种 $k$-染色都存在一个无限整数集 $H$，使得 \[H\]^n 避开至少一种颜色。本文中，我们通过证明只要 $k$ 充分大，无论是 $\mathsf{TS}^n_k$ 还是自由集定理（$\mathsf{FS}^n$）都不蕴含 Erdős-Moser 定理（$\mathsf{EM}$），来研究逆数学中细集定理的组合弱性（回答了 Patey 的一个问题，并给出了 Cholak、Giusto、Hirst 与 Jockusch 问题的部分结果）。给定问题 $\mathsf{P}$，其可计算实例若能为任意其他可计算 $\mathsf{P}$-实例的解计算出一个解，则称其为泛实例。已确立的是，大多数 Ramsey 型问题没有泛实例，但 Erdős-Moser 定理的情形至今开放。我们证明 Erdős-Moser 定理不存在泛实例（回答了 Patey 的一个问题）。