带号图的替换与链环的考夫曼括号

设 $G$ 为一个带号图。设 $\hat{G}$ 为将 $G$ 的每条边 $e$ 替换为一条链或一束边后所得之图。我们首先建立 $\hat{G}$ 的 $Q$-多项式[6] 与 $G$ 的 $W$-多项式 [9] 之间的关系。由该关系导出两个特殊的对偶情形，其中之一已在 [8] 中被研究。基于带号平面图与链环图之间的对应，以及带号平面图的 $Q$-多项式与链环图的考夫曼括号之间的对应，我们可以通过 $G$ 的 $W$-多项式来计算对应于 $\hat{G}$ 的链环图的考夫曼括号。由此我们利用转移矩阵方法计算有理链环的考夫曼括号，并得到其闭式公式。最后我们给出一个例子，指出我们所建立的关系可用于处理一大类链环族。