不变双谱谱：二面体模型下的信号恢复

我们研究了二面体多参考对齐（MRA）模型中的信号恢复问题，该模型中信号在随机的二面体群作用下观察并受到加性噪声破坏。虽然以前的研究表明，三次（三度）循环不变式（即双谱谱）足以在循环平移下恢复一般信号，但二面体情形引入了新的挑战，由于该群的非阿贝尔结构。特别是，反射会阻止在傅里叶基中对第三矩张量进行对角化，使得经典的双谱技术无法应用。在本工作中，我们证明了一般信号在维数为 $n$ 的标准表示下，其在维数为 $2n$ 的元素二面体群 $D_{n}$ 的轨道由次数至多为三的不变张量唯一确定。这解决了文献中的一个开放问题，确立了在均匀分布下，二面体 MRA 的样本复杂度为 $\omega(\sigma^6)$，与循环情形相符。尽管在二面体情形下频率行军变得在计算上不可行，但我们在数值上表明，即使以随机初始化，一个简单的优化算法也能可靠地从三阶矩中恢复信号。