尾风风险学习的隐私代价：差分隐私下 CVaR 优化中的有效尾部样本大小

差分隐私改变了支配CVaR学习中有效样本数的公式。对于尾部质量$\tau$，隐私相关的样本数并非为$n$，而为$n\tau$；等价地，有效私有尾部样本数为$\epsilon n\tau$。私有CVaR超风险分解为普通尾部风险统计误差和隐私价格。这一分解在标量估计和有限类中是完整的：标量估计的收敛率为$\Theta(B \min\{1,(n\tau)^{-1/2}+(\epsilon n\tau)^{-1}\})$，有限类大小为$M$的收敛率为$\Theta(B \min\{1,\sqrt{\log(2M)/(n\tau)}+\log(2M)/(\epsilon n\tau)\})$。这些完整收敛率适用于纯差分隐私，其下界也可推广到小$\delta$情形下的近似差分隐私。对于凸光滑学习问题，模块化的上和下约简表明，CVaR特有的隐私项必然按$1/(\epsilon n\tau$比例增长，维度依赖性继承自私有随机凸优化。综上，这些结果识别出在$\Theta(n\tau)$信息丰富的尾部记录上进行的普通私有学习，是私有CVaR学习中标准的困难子问题。