分配问题中基于配额的多样性代价

我们引入并分析了加权二部图上匹配问题的一个扩展：带类型约束的分配。图的两部分被划分为称为类型和区块的子集；我们寻求在每一类型-区块对中匹配顶点数有预定上限的约束下，具有最大权重和的匹配。我们的主要动机源于新加坡的公共住房计划，其占住宅房地产的 70% 以上。为促进住房项目中的种族多样性，新加坡施行种族配额：每个新住房开发项目由公寓楼组成，人口中每个基于种族的群体在某一楼栋中拥有的公寓不得超过某一比例。其他使用类似硬容量约束的领域包括将准学生匹配到学校或将住院医师匹配到医院。以这种方式限制主体选择以确保多样性自然会带来一些福利损失。我们的目标之一是研究此类设置中多样性与社会福利之间的权衡。我们首先表明，尽管经典分配程序可在多项式时间内计算，加入多样性约束使其在计算上难解；然而，我们给出了一个 $\tfrac{1}{2}$-近似算法，以及对权重的一些允许多项式时间算法的合理假设。接下来，我们作为自然问题参数的函数，给出了多样性代价——施加多样性约束所导致的福利损失度量——的两个上界。我们以基于两个受多样性约束的分配问题（新加坡公共住房与芝加哥学校选择）公开可用数据的模拟结束全文，这些模拟揭示了约束最大化及基于抽签的变体在实践中的表现。