图的 chromatic discriminant 的 Peterson 递推公式

图 $G$ 的 chromatic polynomial 中 $q$ 系数的绝对值被称为 $G$ 的 chromatic discriminant，记为 $\alpha(G)$。存在一个由 chromatic polynomial 的 deletion-contraction rule 导出的关于 $\alpha(G)$ 的著名递推公式。在本文中，我们证明了另一个源于 Kac-Moody Lie algebras 理论的 $\alpha(G)$ 递推公式。我们首先简要综述了 $\alpha(G)$ 的诸多有趣代数与组合解释。我们利用其中两种解释（以无环定向和生成树表示）为我们的 $\alpha(G)$ 递推公式给出了两个双射证明。