双曲表示学习的数值稳定性

鉴于球的体积相对于其半径呈指数增长，双曲空间能够以任意小的失真嵌入树结构，因此因表示层次化数据集而受到广泛关注。然而，这种指数增长特性带来了数值不稳定的代价，使得训练双曲学习模型有时会引发灾难性的 NaN 问题，在浮点运算中遇到无法表示的值。在这项工作中，我们仔细分析了双曲空间两种流行模型（即 Poincaré 球和 Lorentz 模型）的局限性。我们首先表明，在 64 位算术系统下，Poincaré 球在正确表示点方面比 Lorentz 模型具有相对更大的容量。然后，我们从优化角度理论上验证了 Lorentz 模型相对于 Poincaré 球的优越性。鉴于两种模型的数值局限性，我们确定了双曲空间的一种欧氏参数化，可缓解这些局限。我们进一步将这种欧氏参数化扩展到双曲超平面，并展示了其在提升双曲 SVM 性能方面的能力。