各类圆圈中 s-分离 k-子集的个数

本文研究从排列于 $p$ 个大小分别为 $n_1,\ldots,n_p$ 的圆圈中的对象选取 $k$ 个的方式数，使得任意两个被选对象之间至少有 $s$ 个对象。若对所有 $1\leq i \leq p$ 均有 $n_i\geq sk+1$，则证明该数目为 $\frac{n_1+\ldots+n_p}{k}\binom{n_1+\ldots+n_p-sk-1}{k-1}$。文中给出了该结论的组合证明，并推导了一些优美的组合公式。