某些 Moore 多边形的不存在性及其谱 Moore 上界

本文研究了 second largest eigenvalue at most $\theta$ 的连通 $k$ 正则图的最大阶 $v(k,\theta)$. 从 Alon-Boppana 和 Serre 可知，当 $\theta < 2\sqrt{k-1}$ 时 $v(k,\theta)$ 为有限，而 Marcus, Spielman, and Srivastava 的工作表明，当 $\theta\geq 2\sqrt{k-1}$ 时 $v(k,\theta)$ 为无限。Cioab\u{a}, Koolen, Nozaki, and Vermette 通过 Nozaki 的线性规划上界获得 $v(k, \theta)$ 的一般上界，并确定了许多 $v(k,\theta)$ 的值。达到该上界的图为 distance-regular，称为 Moore 多边形。Damerell 和 Georgiacodis 证明不存在直径为 6 或更大的 Moore 多边形。对于较小的直径，有无限多个 Moore 多边形。我们补充这些结果，通过证明两个特定参数下 Moore 多边形的非存在性结果。我们还确定新的 $v(k,\theta)$ 值：$v(4, \sqrt{2}) = 14$ 和 $v(5, \sqrt{2}) = v(5,\sqrt{5}-1)=16$。前者由 co-Heawood 图实现，后者由折叠 5 立方体实现。我们验证任何连通的 5 正则图若其第二个特征值 $\lambda_2$ 超过 1，则满足 $\lambda_2 \geq \sqrt{5} - 1$，且唯一实现等号的 5 正则图拥有 10 个顶点。我们证明了 Kolokolnikov 2015 年猜想的一个更强形式，与常规图的第二个特征值的结果是一般 $v(k,\theta)$ 上界定理的结果的 consequence.