正态矩阵模型中的母体相变

具有代数势的正态矩阵模型近年来备受关注，部分原因是它与求积域、反势问题和拉普拉斯生长等其他几个主题有关。在本文中，我们考虑具有三次加线性势的正态矩阵模型。为了正则化该模型，我们遵循 Elbau & Felder 并引入一个截断。在大尺寸极限下，模型的特征值均匀累积于某个区域 $\Omega$ 内，我们通过求其边界的有理参数化显式确定了该区域。我们还详细研究了与 $\Omega$ 相关的母体问题。结果表明，母体测度 $\mu_*$ 展现出一种我们称之为母体相变的新相变：尽管 $\partial \Omega$ 解析演化，母体测度经历了一个“单割到三割”的相变。为了构造母体测度，我们在相关的谱曲线上定义了一个二次微分 $\varpi$，并将 $\mu_*$ 嵌入其临界图中。利用二次微分的形变技术，我们能够获得关于 $\mu_*$ 的精确信息。特别地，这使我们能够显式确定母体相变的相图。遵循 Bleher & Kuijlaars 以及 Kuijlaars & L\'opez 的先前工作，我们考虑与该模型相关的多重正交多项式。将 Deift-Zhou 非线性最速下降法应用于相关的黎曼-希尔伯特问题，我们得到了这些多项式的渐近公式。由于势中线性项的存在，模型中不存在旋转对称性。这使得相关 $g$-函数的构造明显更加复杂，而 $\varpi$ 的临界图也成为该分析中的关键技术工具。