平面图笛卡尔积上的单极子-二聚体模型

单极子-二聚体模型是单体-二聚体模型的一个带符号变体,具有行列式结构。我们将平面图的单极子-二聚体模型(Math. Phys. Anal. Geom., 2015)推广到其笛卡尔积,并证明该模型的配分函数可表示为广义带符号邻接矩阵的行列式。接着我们证明,只要平面图的定向是Pfaffian的,配分函数就与定向无关。当这些平面图是二部图时,我们证明配分函数的计算变得尤为简单。随后我们给出三维网格图配分函数的显式乘积公式,仿照Kasteleyn与Temperley--Fischer,当所有网格边长均为偶数时,该公式实为某个多项式的四次方。最后,我们将此乘积公式推广到$d$维,再次得到显式乘积公式。我们以关于自由能与单极子密度的渐近公式的讨论作结。