Fermat 简单椭圆奇异点全先祖势的模群

在一系列论文 \cite{KS,MR} 中，Krawitz、Milanov、Ruan 和 Shen 验证了简单椭圆奇异点 $E_N^{(1,1)}$ ($N=6,7,8$) 的所谓 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau (LG/CY) 对应。作为副产品，他们还证明了轨形射影直线 $\mathbb{P}^1_{3,3,3}$、$\mathbb{P}^1_{4,4,2}$ 和 $\mathbb{P}^1_{6,3,2}$ 的轨形 Gromov--Witten 不变量是适当模群上的拟模形式。虽然 $\mathbb{P}^1_{3,3,3}$ 的模群是 $\Gamma(3)$，但另外两种情况下的模群仍属未知。本文的目标是证明剩余两种情况下的模群分别为 $\Gamma(4)$ 和 $\Gamma(6)$。