问题的数学

我报告方程 $i(A,B)+i(A,\neg B)+i(\neg A,B)+i(\neg A,\neg B)= 0$ 恰好存在一个非平凡解,其中 $i(A,B)=\log\frac{P(A\text{ and }B)}{P(A)P(B)}$,$P(A)$ 是命题 $A$ 的概率。该方程指定了两个逻辑命题之间的信息平衡条件,该条件仅由独立性以及这一新解满足。该解是逻辑命题之间的一种新的基本信息关系,我们将其记为 $A \sim B$。$\sim$ 关系无法在不使用复数的情况下表示为概率之间的关系。然而,通过将每个命题表示为问题与答案的组合,例如将"所有男人都会死"写成(所有男人都会死吗?,是),可以大大简化该关系。我们将研究问题的数学,并发现 $\sim$ 关系在该代数中扮演何种角色。我们将发现,与命题一样,问题可以对概率分布施加作用。给定命题 $X$,可将 $P(X)$ 设为 1。提出关于 $X$ 的问题,可将 $P(X)$ 设为 $1/2$。给出命题向概率分布添加信息,而提出问题则减少信息。将问题引入概率论使得表示信息的减法与加法成为可能。我们将考察问题之间如何以几何方式相互关联。值得注意的是,在空间中为问题定向的最简方式具有与最简量子系统——二态系统——相同的结构。我们将发现,二态量子系统的本质数学结构可以从问题的数学中导出,包括非对易性、互补性、波函数坍缩、希尔伯特空间表示与玻恩规则,以及量子纠缠与非局域性。