最不利的噪声

假设感兴趣的随机变量 $X$ 被独立的加性噪声 $Y$ 扰动后观测。本文关注“最不利扰动” $\hat Y_\ep$,其在满足 $\var (Y)\leq \ep$ 的 $Y$ 类中使预测误差 $E(X-E(X|X+Y))^2$ 最大化。我们给出了该问题答案的刻画,并通过例子表明其结果可能出奇地复杂。然而,在 $X$ 为无穷可分变量的特殊情况下,解是完整且简单的。我们还探讨了噪声更大的 $Y$ 会使预测更差的猜想。