针对不等式约束的变分问题的潜在变量proximal点算法
最优化与控制
2025-07-01 v2 数值分析
数值分析
摘要
潜在变量proximal点 (LVPP) 算法是解决具有点不等式约束的无限维变分问题的框架。该算法是 Bregman proximal点算法的鞍点重构。在连续层面上，两种表述是等价的，但鞍点表述更适合离散化，因为它在潜在函数空间和可行集之间引入了结构保持的转换。在该潜在空间中进行工作对于强制执行不等式约束比可行集更方便，因为离散化可以采用合适的基函数的一般线性组合，Nonlinear solvers 可以涉及一般的加性更新。LVPP 产生的数值方法在障碍问题、接触、裂纹、塑性等问题中实现了观察到的网格无关性;在许多情况下，首次实现了这一点。该框架还扩展到更复杂的约束，提供了在 Monge--Amp\`ere 方程中强制凸性以及处理准变分不等式的方法，其中底层约束隐式地取决于未知解。本文描述了 LVPP 算法的通用形式并将其应用于数学中的十个问题。
引用
@article{arxiv.2503.05672,
title = {The latent variable proximal point algorithm for variational problems with inequality constraints},
author = {Jørgen S. Dokken and Patrick E. Farrell and Brendan Keith and Ioannis P. A. Papadopoulos and Thomas M. Surowiec},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.05672},
year = {2025}
}