$H_4$ 与 $E_8$ 的同构

本文给出从 $E_8$ Gosset $4_{21}$ 8- polytope 的 240 个实 $\mathbb{R}^{8}$ 根到两个按黄金比缩放的 120 根 $H_4$ 600-胞腔四元数 4-多胞体的显式同构映射，所用工具为具有回文特征多项式系数的无迹 8$\times$8 旋转矩阵 $\mathbb{U}$ 及酉形式 e^{\text {i\mathbb{U}}}。本文还借助 4D$\hookrightarrow$8D 手性左$\leftrightarrow$右映射函数、$\varphi$ 缩放与 $\mathbb{U}^{-1}$，给出了从单一 $H_4$ 600-胞腔到 $E_8$ 的逆映射。该方法表明，实际上在 $E_8$ 中以手性 $H_{4L}$$\oplus$$\varphi H_{4L}$$\oplus$$H_{4R}$$\oplus$$\varphi H_{4R}$ 根的形式存在每个 600-胞腔的四个副本。此外，本文展示了一种基于 $H_4$ 的四元数 Weyl 轨道构造，其提供了 $E_8$ 与 $H_4$ 的三次整流 Coxeter-Dynkin 图（即 600 阶的 120-胞腔）的四个副本之间的显式映射。利用此性质有望为尚未探索的基于 $E_8$ 的大统一理论（GUTs）打开大门。