不变性约化过程——解题圆形 Nim 及相关游戏的新工具

我们提出游戏不变向量的概念，并发展出不变性约化过程，该过程首先通过不变性约化位置，然后进行零和合并约化，以到达较小、已解子游戏的闭子空间位置。这一过程大大简化了证明存在从 N 位置到 P 位置的移动的难度，某些情况下也可用于证明不存在 P 位置之间的移动。这一过程适用于所有规则集合形成单纯形复合体的 Nim 游戏变体。我们将单纯形 Nim 重新表述为集合 Nim SN($n,A$)，并依据不变向量推导出有关 P 位置结构的结果，无需单纯形复合体的背景和符号。我们还表明，不变向量与描述 Simplicial Nim 中 P 位置的电路不同，且不变向量的适用性广泛于电路。我们将不变性约化过程应用于推导路径 Nim 游戏族的结果，其中允许在至少半数堆上的游戏，以及圆形 Nim 游戏 CN($n,k$)，其中 $n=7, k=3$ 和 $n=8,k=3$。