具有不含时势的初态到终态反问题

初态到终态反问题是指在已知每个初始态在某一固定时刻系统状态的前提下，确定量子哈密顿量。该问题由 Caro 和 Ruiz 提出，其动机源于量子力学中的数据驱动预测问题。Caro 和 Ruiz 分析了形式为 $-\Delta + V$ 的哈密顿量的唯一性问题，其中电势 $V = V(\mathrm{t}, \mathrm{x})$ 依赖于时间和空间变量。在此背景下，他们证明了当势函数有界且在无穷远处具有超指数衰减时，在 $n \geq 2$ 维中唯一性成立。尽管他们的结果似乎并非最优，但人们预期势函数至少需要某种程度的指数衰减。然而在本文中，我们证明了，通过将分析限制在具有不含时电势（即 $V = V(\mathrm{x})$）的哈密顿量上，对于在无穷远处仅表现出超线性衰减的有界可积势函数，在任何 $n \geq 2$ 维中均可建立唯一性。这一令人惊讶的改进是可能的，因为与 Caro 和 Ruiz 的方法不同，我们的论证避免了使用复几何光学（CGO）。相反，我们依赖于在不同能量下构造定态——这是可能的，因为势函数不依赖于时间。这些状态将具有由 Herglotz 波给出的显式主项，加上一个随能量增长而消失的修正项。除了显著放宽对势函数的衰减假设外，避免使用 CGO 解本身也具有重要意义，因为在更复杂的几何环境中并不容易获得此类解。