平方矩阵乘法混合算法的 I/O 复杂度

我们推导了一类通用混合算法计算 $n \times n$ 平方矩阵乘积的 I/O 复杂度的渐近紧下界，该类算法结合了计算复杂度 $\Theta{n^{\log_2 7}}$ 的“\emph{类 Strassen}”快速矩阵乘法方法与计算复杂度 $\Omega\left(n^3\right)$ 的“\emph{标准}”矩阵乘法算法。我们提出了一个新颖且紧的 $\Omega\left(\left(\frac{n}{\max\{\sqrt{M},n_0\}}\right)^{\log_2 7}\left(\max\{1,\frac{n_0}{M}\}\right)^3M\right)$ 下界，适用于一类“\emph{一致、非平稳}”混合算法在具有 $M$ 字快速内存的两级存储层次中执行的情况，其中 $n_0$ 表示使用代数复杂度 $\Omega\left(n^3\right)$ 的标准算法计算的子问题阈值大小。该下界实际上是对更一般的“\emph{非一致、非平稳}”混合算法类导出的，该类允许递归调用具有不同结构，即使它们指代相同尺寸且在同一递归层的矩阵乘法，尽管定量表达式变得更复杂。我们的结果是针对这些混合算法类的首个 I/O 下界。所有给出的下界即使在允许部分结果重算时也成立，并且是渐近紧的。证明技术结合了矩阵乘法函数的 Grigoriev 流分析、快速类 Strassen 算法所用编码函数的组合性质，以及用于分析标准矩阵乘法算法的 Loomis-Whitney 几何定理的应用。还讨论了针对具有 $P$ 个处理器的并行模型的下界扩展。