宇宙的历史是一条椭圆曲线

当用共形时间 $u$ 而非宇宙时间 $t$ 表示时，包含物质、曲率、宇宙常数和辐射贡献的 Friedmann-Lemaitre 方程可以用标准的 Weierstrass 椭圆函数显式求解。空间尺度因子、温度、密度、Hubble 函数以及几乎所有宇宙学感兴趣的量（$t$ 本身除外）都是 $u$ 的椭圆函数；特别是当取 $u$ 为复数时，它们关于复平面上的格点是双周期的。在回顾了该理论的基础知识后，我们利用这些显式表达式以及关于当前密度参数值的实验约束（我们选择一个符合实验界限的小曲率密度值），展示了主要宇宙学量在一个实周期 $2 \omega_r$ 的共形时间内的演化（宇宙时间 $t$ 永不结束，但在 $u$ 的有限值 $u_f < 2 \omega_r$ 处趋于无穷大）。由当前密度的测量值指定的给定宇宙历史，与复平面上的一个格点或一条椭圆曲线相关联，因此也与两个 Weierstrass 不变量 $g_2, g_3$ 相关联。利用相同的实验数据，我们计算了这些不变量的值，以及相关的模参数和相应的 Klein $j$-不变量。如果取平坦情况 $k=0$，则格点仅在同构意义下定义；此外，如果忽略辐射贡献，$j$-不变量为零，相应的模参数 $\tau$ 可以选择在模群标准基本域的一个角上（等调和情况：$\tau = \exp(2 i \pi/3)$）。在这种情况下获得了一些具有独立意义的精确（即非数值）结果。