例外超 Yang-Mills 理论的几何结构

此前，Sezgin、Bars 与 Nishino 提出了 $D=11+3$ 及更高维的超 Yang-Mills 理论（SYM）。利用 $\mathfrak{e}_{8(-24)}$ 的“魔星”投影，我们表明 $11+3$ 与 $12+4$ 时空维 SYM 的几何结构可由空间 $AdS_{4}\otimes S^{8}$ 的仿射对称性恢复，其中 $8$-球为 Cayley 平面中的一条线。通过沿极大嵌入约化到横向变换，可恢复 M2-膜（$AdS_{4}\otimes S^{7}$）与 M5-膜（$AdS_{7}\otimes S^{4}$）的近 horizon 几何。将该构造推广到近期引入的“例外周期性”（EP）的更高、一般层级，并利用半单秩-3 Jordan 代数到特殊型秩-3 T-代数的嵌入，得到空间 $AdS_{4}\otimes S^{8n}$ 与 $AdS_{7}\otimes S^{8n-3}$，其约化子空间分别为 $AdS_{4}\otimes S^{8n-1}$ 与 $AdS_{7}\otimes S^{8n-4}$。在 EP 内，这暗示了 M2-膜及其 Hodge（磁）对偶的近 horizon 几何的推广，关联到 $(1,0)$ SYM 在 $(8n+3)+3$ 维的情形，构成一类特定的新型高维 SYM，我们称之为例外 SYM。值得注意的是，$n=3$ 层级给出 $AdS_{4}\otimes S^{23}$，暗示 M2 与 M21 膜作为玻色 M-理论的解，而约化到 $AdS_{3}\otimes S^{23}$ 为 Witten 的 monstrous $AdS$/CFT 构造提供了支持。