量子随机访问码背景下的 Bloch 空间几何

我们研究一种称为量子随机访问码（QRAC）的通信协议，该协议将 $n$ 个经典比特编码为 $m$ 个量子比特（$m<n$），并以至少 $p>\tfrac{1}{2}$ 的概率恢复初始 $n$ 个比特中的任意一个。此类码记为 $(n,m,p)$-QRAC。若允许通过共享随机串进行协作，我们称之为带共享随机性的 QRAC。我们证明，对于任意带共享随机性的 $(n,m,p)$-QRAC，参数 $p$ 的上界为 $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2^{m-1}}{n}}$。当 $m=2$ 时，这给出了 $p\le \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\sqrt{2n}}$ 的新界，证实了 Imamichi 和 Raymond（AQIS'18）的猜想。我们的界意味着先前已知的 $(3,2,\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\sqrt{6}})$-、$(4,2,\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{2}})$- 和 $(6,2,\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{3}})$-QRAC 的解析构造是最优的。为得到我们的界，我们研究了 Bloch 矢量表示下量子态的几何，并利用了任意两个量子态具有非负重叠这一事实的几何解释。