广义 Taylor 级数方法不等价于同伦分析方法

在关于非线性微分方程解的近似方法的近期研究中，有人提出所谓的广义 Taylor 级数方法等价于同伦分析方法。在本文中，我们证明这种观点仅在极少数特殊情形下成立，一般情况下同伦分析方法要稳健得多。具体而言，这种等价性仅在解表示为关于自变量的幂级数时成立。正如多次证明的那样，替代基函数可以极大地改善同伦解的误差性质，当基函数不是多项式或幂函数时，广义 Taylor 级数方法不再等价于同伦分析方法。我们通过一个例子证明了这一点，在该例子中广义 Taylor 级数必须始终具有有限的收敛半径（因而适用范围有限），而同伦解在整个无限域上均有效。随后我们给出了第二个例子，其精确解不是解析的，因此它在定义域上不会与广义 Taylor 级数一致。我们得出结论：广义 Taylor 级数方法不等价于同伦分析方法。具体而言，广义 Taylor 级数至多只能恢复关于解的局部信息，而同伦分析方法若选择了合适的基函数，则能够全局地恢复解。这些结果对于在近似求解非线性微分方程时如何计算级数具有重要意义。